Як вывесці формулу Блэка для ацэнкі апцыёна на будучыню?

У мяне ёсць пытанне аб 1976 Black Мадэль і Башелие мадэлі.

Я ведаю, што геаметрычнае броўнаўскі рух у P меру $ DS_ {т} = \ мю S_ {т} Да й + \ сігма S_ {т} dW_ {т} ^ {P} $ для цаны акцый $ S_ {T} $ адвядзеннях (пасля змены меры) у формуле Блэка-Шоулза для званка:

$$ З = S_ {0} N (D_ {1}) - Ка ^ {- тт} N (D_ {2}) $$.

Там, дзе $ D_ {1} = \ гидроразрыва {Ln (\ гидроразрыва {S_ {0}} {Да}) + (г + \ гидроразрыва {1} {2} \ Sigma ^ {2}) Т} {\ Sigma \ SQRT { T}} $ і $ D_ {2} = D_ {1} - \ Sigma \ SQRT {T} $

Я на самой справе не ведаю, як гэта магчыма, каб атрымаць знакамітую чорную формулу на форвардной кантракт:

$$ З = е ^ {- тт} (F N (D_ {1}) - КН (D_ {2})) $$.

дзе цяпер $ D_ {1} = \ гидроразрыва {Ln (\ гидроразрыва {F} {Да}) + \ гидроразрыва {1} {2} \ Sigma ^ {2} Т} {\ Sigma \ SQRT {T}} $ і $ D_ {2} = D_ {1} - \ Sigma \ SQRT {T} $

Ці павінен я проста ўставіць $ F (0, T) = S_ {0} е ^ {ГТ} $ ў першай формуле BS, каб атрымаць другі?

Я пытаюся гэта таму, што я спрабаваў вывесці формулу BS з дапамогай арыфметычнага броўнаўскі рух як $ DS_ {т} = \ мю Сі + \ сігма dW_ {т} ^ {P} $, і я атрымліваю:

$$ З = S_ {0} N (г) + е ^ {- тт} [V п (г) -K Н (г)] $$.

дзе $ D = \ гидроразрыва {S_ {0} {е ^ ГТ} -K} {v} $ і $ v = е ^ {ГТ} \ Sigma \ SQRT {\ гидроразрыва {1-е ^ {- 2RT}} {2r }} $ і памятаць, што $ N (г) $ і $ п (г) $ з'яўляюцца ВПР і ў фармаце PDF.

але папярэднія замяшчальнай $ F (0, Т) = S_ {0} {е ^ ет} $ не здаецца, прывядзе да вядомага выніку $ C = е ^ {- тт} [(ФК) N (г) - \ Sigma \ SQRT {Т} п (г)] $

дзе ў цяперашні час $ D = \ гидроразрыва {F-K} {\ \ Sigma SQRT {T}} $

Я думаю, што я мог бы дасягнуць раўнанняў на прамым і ў геаметрычным броўнаўскім руху і арыфметычнага броўнаўскім руху з выкарыстаннем раўнанняў

$ ЙР = F \ сігма dW_ {т} ^ {Q} $ і $ йР = \ сігма dW_ {т} ^ {Q} $, але я не ведаю, як апраўдаць іх выкарыстанне.

4
@Macro Сардэчна запрашаем у Quant. С.Я.! Вы хочаце, каб цана толькі форвардной кантракт або апцыён на форвардной кантракт ці што?
дададзена аўтар user16991, крыніца
Проста заменіце $ S_0 $ з $ F е ^ {- Rt} $ ў зыходнай BS формуле ці вы можаце выкарыстоўваць рызыка нейтральны падыход. Абодва будуць прыводзіць да той жа самай формуле ацэнкі.
дададзена аўтар user16991, крыніца
Прывітанне Neeraj, дзякуй за Ваш адказ. Я хацеў бы, каб кошт апцыён на форвардной кантракт!
дададзена аўтар Peter Taylor, крыніца
Добра, дзякуй. Але я магу зрабіць тое ж самае для АВМ? Таму што я не магу атрымаць вынік, калі я гэтую замену.
дададзена аўтар Peter Taylor, крыніца

2 адказы

Еўрапейскі варыянт на будучыню

To price Еўрапейскі варыянт на будучыню, you just need to replace $S_0$ with $Fe^{-rT}$ in your original BS formula or you can use risk neutral approach. Both will lead to same Valuation formula.

Амерыканскі варыянт на будучыню

Above procedure can not be used to price Амерыканскі варыянт на будучыню. In a paper, The valuation of options on future contracts by Ramaswamy, stated that

There are no known analytical solution to the valuation of Амерыканскі варыянт на будучыню contract.

Authors used implicit finite difference method to price Амерыканскі варыянт на будучыню contract.


Edit: Derivation of price of Еўрапейскі варыянт на будучыню contract

Пад рызыкай нейтральнай меры, будучая кошт, $ F_t $ задавальняюць наступныя SDE: $$ dF_t = \ сігма F_t dW_t $$ дзе $ W_t $ гэта працэс Wiener. Можна лёгка паказаць, што: $$ F_T | F_t = F_t е ^ {- \ гидроразрыва {1} {2} \ Sigma ^ 2 (Т-т) + \ Sigma (W_T- W_t)} $$ $$ F_T | F_t \ сім LogN \ налева (п (F_t) - \ гидроразрыва {1} {2} \ Sigma ^ 2 (Т-т), \ Sigma ^ 2 (Т-т) \ справа) $$

Цана апцыёна на ф'ючэрсны кантракт $ (C_t) $ пад рызыкай нейтральнай мерай з'яўляецца: $$ C_t = е ^ {- г (Т-т)} Е- \ mathbb {Q} [(F_T - К) ^ +], $$

Вы можаце лёгка вырашыць вышэй выраз, каб атрымаць кошт апцыёна напісаным на будучыню. Размеркаванне $ F_T $ вельмі падобная на $ S_T $ (гл гэты адказ) . Калі замяніць $$ LN (F_t) = п (S_t) + R (T-T) $$, то вы атрымаеце такое ж размеркаванне $ S_T $ ў рамках рызыкі нейтральнай меры. Гэта з'яўляецца прычынай таго, каб атрымаць кошт апцыёна на будучыню, мы заменім $ S_T $ з $ F_t е ^ {- г (Т-т)} $ ў BS мадэлі еўрапейскага кошту апцыёна.

1
дададзена
@Marco калі ласка, праверце рэдагавання адказу.
дададзена аўтар user16991, крыніца
Прывітанне Neeraj, на самай справе я хацеў бы, каб кошт еўрапейскі варыянту, пачынаючы ад АВМ.
дададзена аўтар Peter Taylor, крыніца

Я атрымліваю раўнанне $ E ^ {-} [Rt (S_ {0} е ^ {К.Т.} -K) N (D) + Vn (d)] $

дзе $ d = \ гидроразрыва {S_ {0} {е ^ К.Т.} -K} {v} $ і $ v = \ Sigma \ SQRT T $, а затым з дапамогай $ F (0, T) = S_ {0} е ^ {К.Т.} $ я атрымаць канчатковае раўнанне для цаны выкліку:

$ C_ {т} = е ^ {- RT} [(F-K), Н (г) + \ Sigma \ SQRT т п (г)] $ дзе $ d = \ гидроразрыва {Р-К} {\ Sigma \ SQRT т} $

У любым выпадку, каб атрымаць вынік, я павінен разгледзець мяжа для малых г у $ V $: $ \ lim_ {г \ да 0} \ SQRT {\ гидроразрыва {е ^ {2RT} -1} {2r}} $

Як я магу абгрунтаваць гэтую здагадку?

0
дададзена