Прыклады змешаных структур Ходжа

Хто-небудзь ведае зручны, прыклад нагружаныя ўвядзенне змешаных структур Ходжа? Я атрымліваю з Вікіпедыі, як вылічыць для праколатага і зашчымленне крывой ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure# Mixed_Hodge_structures ), але я хачу больш! Я хачу, табліцы і лічбы і ўсе відавочныя і spoonfed. Дзякуй!

28
У нашым аддзеле, ты спытаў Сэм? Ён выдаткаваў шмат часу на вывучэнне тэорыі Ходжа.
дададзена аўтар ChrisThomas123, крыніца
Дзякуй за адказы да гэтага часу. Я буду капаць, перш чым прыняць адказ. (Падказка: .. [! Так, я размаўляю з вамі, Emerton] актыўныя спасылкі, хутчэй за ўсё, каб атрымаць голас Калі я кажу spoonfed, я маю на ўвазе spoonfed)
дададзена аўтар Aditya Chawla, крыніца
нават я шукаю некаторыя рэчы, як гэта.
дададзена аўтар inf, крыніца

7 адказы

I can't believe nobody has yet mentioned the book Period mappings and period domains by Carlson, Müller-Stach and Peters. Chapter 1, the introduction, is written almost as a story, starting with the pure Hodge structure on the cohomology of a Riemann surface and introducing mixed Hodge structures by looking at degenerations. Further niceties await the reader in subsequent chapters.

16
дададзена
Гэта быў самы просты спасылкі на асноўныя ідэі, мякка spoonfed - дзякуй! Гэта, верагодна, дастаткова для маіх мэт - гэта значыць, канструюючы фільтрацыю на когомологиях некаторага комплексу, які павінен быць когомологией асаблівага алгебраічнага разнастайнасці ква цэнтральнага валакна, такім чынам, мае змешаную структуру Хаджы. Дзякуючы іншым таксама.
дададзена аўтар Aditya Chawla, крыніца

Паважаны Zaz,

Калі паглядзець на артыкул Делиня «Ходж I» (на самай справе ИВМ размова, магчыма, з 1970 або каля таго, якія павінны быць даступныя ў электроннай базе дадзеных ІДУ ИВМ перамоваў), вы знойдзеце табліцу, па меншай меры, некаторую інфармацыю аб вагах і ліках Хаджы ў розныя кантэксты (гладкія, але адкрытыя, правільныя, але, магчыма, адзінае лік, і г.д.); больш дакладна, ён сцвярджае, дыяпазоны, што розныя нумары могуць ляжаць у.

У адваротным выпадку, асноўны прынцып заключаецца ў тым, што (скажам, у выпадку гладкага разнастайнасці першага) Вы компактифицировать свой выбар, запішыце розныя доўгія дакладныя паслядоўнасці, якія прыходзяць розум у дачыненні когомологию адкрытага разнастайнасці да таго, што яго компактификацией, а затым выкарыстоўваць той факт, што карты MHS строгія для вагі і ходжевых фільтрацыі, так што вы можаце прачытаць з лікаў MHS вы клапоціцеся аб (когомологиях адкрытая разнавіднасць) ад MHS іншых рэчаў, якія з'яўляюцца (якія кампактныя, і таму ў нейкі сэнс вядомы: дакладней, компактификация кампактна і гладкая, так Вядома --- у прынцыпе --- па звычайнай тэорыі Ходжа, у той час як мяжа будзе нармальны дзельнік пераездаў, так кампактна, але, магчыма, адзінае лік --- але ў мяккім магчымы шлях --- а таксама меншай памернасці, так што вы можаце сабе ўявіць, што вы ведаеце, гэта індукцыяй па памернасці і/ці таму, што гэта кампактны і вельмі блізка да гладкая).

Гэта не тое ж самае, што дае вам табліцу, на жаль; вы хочаце рыбу, і я даю Вы (у лепшым выпадку) свайго роду рыбалкі рэалізаваць (ці, можа быць, лыжка). На жаль пра гэта.

14
дададзена
Часам вы проста хочаце рыбу на лыжку! Мне не трэба ведаць, што карбюратар робіць толькі, каб дабрацца да гандлёвага цэнтра.
дададзена аўтар Aditya Chawla, крыніца
Мэт, дзякуй за ўсё рыбы (у рэчы). 42.
дададзена аўтар Kramin, крыніца

Я толькі што заўважыў гэтае пытанне. Спасылкі, згаданыя да гэтага часу добрыя. Так што я проста буду рабіць прыклад, што я звычайна раблю на дошцы, калі хто-небудзь спытае мяне. Возьме гладкі комплексны праектыўныя разнастайнасць $ X $ з гладкім дзельнікам $ D $. Ўсталяваць $ U = X-D $. там у доўгая дакладная паслядоўнасць $$ \ ldots Н ^ (Х) \ Н ^ I (U) \ Н ^ {я-1} (D) \ да Н ^ {+ 1} (Х) \ ldots $$ гавораць з рацыянальнымі або комплекснымі каэфіцыентамі. Якія карты? Першае абмежаванне, другое з дапамогай $ \ mathbb {C} $ каэфіцыентаў ўяўляе сабой карту рэшту, а трэці з'яўляецца картай Гайсина, якая мае тыпу $ (1,1) $ (ці вы хочаце хочаце атрымаць фантазіі вам патрэбен паварот Tate тут). Змяшаная тэорыя Ходжа $ U $ можа быць лічана з гэтага.

Напрыклад, для лікаў Хаджы $$ \ цьмяны Н ^ {РД} (U) = \ цьмяны ім [Н ^ {р-1, Q-1} (D) \ да H ^ {РД} (X)] + \ цьмяны кег [Н ^ { РД} (D), \ Н ^ {р + 1, д + 1} (Х)] $$ і гэтак далей. (Дарэчы, $ H ^ {РД} $ бярэцца за $ (р, д) $ частка $ р + Q $ вага гатункавы фактар.)

Добра, дазвольце мне зрабіць яго больш канкрэтным. Хай $ X $ паверхню з няправільнасць $ Q = 0 $, магчыма, $ \ mathbb {P} ^ 2 $, то $ D \ падмноства X $ з'яўляецца крывой сказаць, род $ G $. Тады зверху, цікавыя колькасці Ходжа з'яўляюцца $$ ч ^ {20} (U) = H ^ {02} (U) = Н ^ {20} (Х) $$ $$ ч ^ {11} (U) = H ^ {11} (X) -1 $$ $$ ч ^ {12} (U) = H ^ {21} (U) = г $$

<�Удар> Можа быць, дастаткова. </Страйк>

I can't resist squeezing in one more example. Suppose $D$ on the above surface $X$ can be contracted to a point in a normal surface $Y$. So for example, $Y$ might be a cone over a plane curve, and $X$ the blow up of the vertex. Using duality and the standard exact sequence for compactly supported cohomology, we can conclude $$H^i(Y)=H_c^i(U)= H^{4-i}(U)^*(-2),\quad i>0$$ As far as Hodge numbers are concerned, the dual means $(p,q)\mapsto (-p,-q)$ and $(-2)$ means shift by $(2,2)$.

13
дададзена

Гэтая лекцыя Сэм Payne вельмі добрае ўвядзенне:

http://archive.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/ VideoInfo/4162/LV/LaunchVideo? VideoID = 13602

10
дададзена
Я ручаюся за гэта; гэта быў вялікі размова. Відэа спасылка на MSRI змянілася; Я думаю, што відэа Джым мае на ўвазе зараз у MSRI .org/вэб/MSRI/онлайн-відэа/-/відэа/showVideo/3674
дададзена аўтар Bryan Roth, крыніца

Кніга Клэр Вуазен ў «Ходж Тэорыя і комплексная алгебраічная геаметрыя I» пераходзіць у выпадку гладкага (некампактнага) разнастайнасць у даволі элементарна. Я таксама знайшоў кнігу Петерс і Стинбринка «Змешаныя структуры Хаджы», каб быць карыснай - ён мае шмат дэталяў і прымае вас на ўсім шляху ад тэорыі Ходжа кампактных кэлеровых разнастайнасці ў змешаныя модулі Хаджы.

Я думаю, што яны напісаныя ў некалькі больш элементарным/стылі падручніка, чым працы Делиня (хоць я таксама рэкамендую паглядзець на іх).

Я другое заўвагу Мэт на вылічэнне змешаных лікаў Хаджы. Калі вы можаце знайсці доўгія дакладныя паслядоўнасці, якая злучае когомологию вашага гатункі, што і іншых гатункаў, чые структуру Ходжа вы ведаеце, то вы можаце выкарыстоўваць той факт, што карты ў LES з'яўляюцца картамі змешаных структур Хаджы, каб паспрабаваць счытваць змешаныя колькасці Хаджы ,

9
дададзена

Хіджры Durfee, `` Наіўны кіраўніцтва па змяшанай тэорыі Ходжа, '' сінгулярнасці, частка 1 (Arcata, Каліфорнія., 1981), 313-320, Proc. Сімпозіум. Pure Math., 40, Amer. матэматыка Soc., Providence, RI, 1983.

вельмі прыемна чытаць, але, верагодна, не апрацоўвае ніякіх больш спраў, чым вы ўжо ведаеце.

5
дададзена

доўгая «Фундаментальная група праектыўных прамога мінус тры ачкі» Делинь папера мае некалькі прыкладаў змешаных матываў ў самога пачатку (у раздзеле 2 «прыклады»), далучанай змешаныя структуры Хаджы апісаны вельмі падрабязна. Менавіта там я даведаўся, што змяшаная структура Ходжа быў, ва ўсякім выпадку.

http://www.math.ias.edu/files/deligne/GaloisGroups.pdf

4
дададзена