Чаму матрыцы паўсюдна, але гиперматрицам рэдка?

Я збянтэжаны дзіўнай карыснасці і, такім чынам, паўсюднасць Двухмерныя матрыцы ў параўнанні з адноснай Малалікасць шматмерных масіваў лікаў, гиперматрицам . Вядома шматмерныя масівы карысныя: кожная мова праграмавання падтрымлівае іх, і я часта выкарыстоўваю іх самі. Але гэтыя віды лячэння масіваў у асноўным у якасці зручных структур дадзеных а не як матэматычныя аб'екты. Калі я думаю пра генералізацыі шматкутніка да $ D $ -мерном мнагагранніка, або двухмернай паверхні да $ N-мернага разнастайнасці, Я бачу павялічыць у матэматычнай важнасці і карыснасці; у той час як з матрыцамі, супрацьлеглае.

One answer to my question that I am prepared to acknowledge is that my perception is clouded by ignorance: hypermatrices are just as important, useful, and prevalent in mathematics as 2D matrices. Perhaps tensors, especially when viewed as multilinear maps, fulfill this role. Certainly they play a crucial role in physics, fluid mechanics, Riemannian geometry, and other areas. Perhaps there is a rich spectral theory of hypermatrices, a rich decomposition (LU, QR, Cholesky, etc.) theory of hypermatrices, a rich theory of random hypermatrices—all analogous to corresponding theories of 2D matrices, all of which I am unaware.

Я ведаю, што Кейлі даследаваў hyperdeterminants ў 19-м стагоддзі, і што Гельфанд, Капранов і Зелевинского напісаў кнігу пад назвай Дискриминанты, Результанты і шматмерныя фактары, якія вызначаюць (Birkhäuser, Boston, 1994), пра якія я мала ведаю.

Калі, нягледзячы на ​​маё невуцтва, сапраўды гиперматрицам знайшлі толькі адносна рэдка карыснасць ў матэматыцы, мне было б цікава ведаць, калі ёсць некаторыя прычыны высокага ўзроўню для гэтага нейкі прычына, што 2D-матрыца па сваёй прыродзе больш карысныя, чым гиперматрицы?

Я ведаю, як аморфны гэтае пытанне, і прашу прабачэння, калі гэта лічыцца немэтазгодным.

78
палова пытання абвяшчае: «тэнзар рэдкія». Гэта ілжывае staement.
дададзена аўтар Chris Farmer, крыніца
Я думаю, што гэта таксама звязана з тым фактам, што ў той час як у многіх выпадках матрыца з'яўляецца толькі прыватным выпадкам гиперматрицы (напрыклад, прадстаўленне тэнзар, як і вышэй назіраецца) ёсць таксама шмат выпадкаў, калі некалькі аналагавых сапраўды менш цікава супольнасць. Так, напрыклад, патройны або п-ичных адносіны, безумоўна, менш выкарыстоўваюцца, чым бінарныя адносіны; гиперграфы не так шырока выкарыстоўваюцца ў выглядзе графікаў; лінейныя адлюстравання паміж прамымі сумамі вектарных прастор, а прыватны выпадак, чым абагульненне лінейных адлюстраванняў паміж вектарнымі прасторамі.
дададзена аўтар Tom Duckering, крыніца
Вось звязаны з гэтым пытанне (звязаны, па меншай меры, на мой погляд). Чаму групы, кольца і поле значна больш паўсюднае, чым наборы $ S $ з функцыяй $ F: S \ S разы \ S \ разы на S $, якія маюць «добрае» ўласцівасць?
дададзена аўтар Sajee, крыніца
(Функцыя або некалькі функцый!)
дададзена аўтар Sajee, крыніца
@ Джозэф: і пасля апошняга каментара Qiaochu, у вышэйшыя тэнзар маюць асноватворнае значэнне пры працы з суаўтарамі алгебры, алгебры Хопфа, квантавых груп - вобласць надзвычай багатай і прыгожай тэорыі!
дададзена аўтар Pandincus, крыніца
Толькі здагадка, але гэта, магчыма, прыйдзецца рабіць з цяжкасцю вызначэння (кананічнае) творы гиперматрица; Вы не можаце праглядаць іх, натуральна, у выглядзе лінейных адлюстраванняў паміж вектарнымі прасторамі, а таксама вызначыць прадукт з дапамогай кампазіцыі.
дададзена аўтар Srdjan Pejic, крыніца
Я збіраўся задаць тое ж пытанне, як Qiaochu. Вы шукаеце ўласцівасць лінейнай алгебры, якія ня пераносяцца на полилинейный налады?
дададзена аўтар dguaraglia, крыніца
Акрамя таго, $ N $ -грамм бязмерна больш распаўсюджана, чым матрыцы ...
дададзена аўтар Mark Ireland, крыніца
Ну, вы маглі б разгледзець 3 размерных матрыцы ў выглядзе паслядоўнасці матрыц, і яны прыдумалі даволі часта.
дададзена аўтар enmapping, крыніца
З іншага боку, я бачыў некаторую літаратуру абагульняючага сінгулярнасць раскладання тэнзар ...
дададзена аўтар Fayez Abdlrazaq Deab, крыніца
Малюсенькая запіска, (верагодна) звязана з каментаром Гордана: калі гаворка ідзе пра Тэйлар раскладаннем функцый многіх зменных, пашырэнне звычайна ўсекчы на ​​Гесс тэрмін; пры працы з вектар-функцый, пашырэнне усекается ў якобиевой перспектыве. Я не думаю, што я калі-небудзь бачыў вылічальную працу, дзе члены больш высокага парадку, тыя, якія змяшчаюць «гиперматрицам», калі-небудзь былі разгледжаны.
дададзена аўтар Fayez Abdlrazaq Deab, крыніца
@ Джозэф: Я думаю, што гэта «багацце» абвінавачванне з'яўляецца неабгрунтаваным. Структурныя канстанты канечнамернае алгебры або алгебры Лі ўтвараюць тэнзар або гиперматрица, і я думаю, вы пагодзіцеся са мной, калі я кажу, што тэорыя канечнамернае алгебры і алгебры Лі досыць багатая.
дададзена аўтар Assaf Lavie, крыніца
Акрамя таго, вы бачылі hyperdeterminant.wordpress.com ?
дададзена аўтар Assaf Lavie, крыніца
Калі тэнзар ўсюдыісны, і тэнзар гиперматрицам, то не гиперматрицам паўсюдна? (Не рытарычнае пытанне. Я не магу сказаць, які з гэтых сцвярджэнняў вы лічыце, што менш.)
дададзена аўтар Assaf Lavie, крыніца
Дэвід, я не згодны. Ён не кажа, што тэнзар рэдка, магчыма, проста, што рэдка для дасягнення прасвятлення шляхам запісу тэнзар ў кампанентах.
дададзена аўтар Anthony Joseph, крыніца
@Qiaochu & Gjergji: Тое, што я шукаю быў дакладна вызначыў у адказе Дзяніса: здаецца, ёсць розніца ў <�я> багацце паміж тэорыяй матрыц і тэнзарнае тэорыяй. @Qiaochu: Так, hyperdeterminant блог вельмі павучальны, але толькі ўзмацняе маё пачуццё дысбалансу: «было б справядліва сказаць, што нават большасць матэматыкаў засынаюць, калі прадмет hyperdeterminants згадваюцца» :-)
дададзена аўтар Joseph O'Rourke, крыніца

12 адказы

Заўважым, што ў лінейных матрыц алгебры апісваюць па меншай меры, дзве розныя рэчы: лінейныя адлюстравання паміж вектарнымі прасторамі (мы разглядаем толькі канечнамернае вектарных прастор тут) і білінейны формы. Разважаючы матрыцы як тэнзар, лінейныя адлюстравання паміж $ V $ і $ W $ з'яўляюцца элементамі прасторы $ V ^ * \ otimes W $, у той час як білінейны форма паміж $ V $ і $ W $ з'яўляюцца элементамі $ V ^ * \ otimes W ^ * $. Цяпер вы можаце лёгка абагульніць апошні выпадак больш за два прастор, але не былы. Але гэта першы выпадак, калі некалькі паняццяў, як кампазіцыі (множання матрыц), дэтэрмінант, уласныя і г.д. прымяняюцца. (Звярніце ўвагу, што ўласныя значэння і дэтэрмінанты могуць быць вызначаны для білінейны формаў на вектарным прасторы, забяспечанае ўнутраны прадукт, але не для білінейны формаў на гладкіх вектарных прастор). Вядома, вы можаце разгледзець прасторы як $ V ^ * \ otimes W ^ * \ otimes X $, але элементы гэтай прасторы лепш думалі, як лінейныя адлюстравання паміж $ V \ otimes W $ і $ X $, чым у выглядзе трохмерных гиперматрицам. Дык што ж асаблівага ў колькасці 2 з'яўляецца тое, што існуе такое паняцце дваістасці для вектарных прастор, але не «н-Эк».

85
дададзена
Апошнія дакументы па спектральнай тэорыі гиперграфа для ўласных сумежна гиперматрица: «Спектры Гиперграфов», Джошуа Купер, Аарон Dutle, Arxiv .org/АБС/1106.4856
дададзена аўтар Steve French, крыніца
У сувязі з гэтым, існуе вельмі плённае ўзаемадзеянне паміж графамі і матрыцамі, у прыватнасці, з выкарыстаннем уласных матрыц сумежна. Можна сказаць некалькі рэчаў па гэтых лініях каля гиперграфах, але яны (на сённяшні дзень) значна менш здавальняючым.
дададзена аўтар Christi, крыніца
@Florian: Ваша кропка аб дваістасці з'яўляецца вялікім разуменнем!
дададзена аўтар Joseph O'Rourke, крыніца
«Звярніце ўвагу, што ўласныя значэння і дэтэрмінанты могуць быць вызначаны для білінейны формаў на вектарным прасторы, забяспечанае ўнутраны прадукт, але не для білінейны формаў на гладкіх вектарных прастор» дэтэрмінанты можа быць вызначаны для білінейны формаў на гладкіх вектарных прастор. Загвоздка ў тым, што яна не з'яўляецца скаляраў, а элемент аднамернага вектарнага прасторы $ (\ клін ^ НВ) ^ {\ otimes2} $. Ўнутраны прадукт дае ізамарфізму $ (\ клін ^ НВ) ^ {\ otimes2} \ СтрелкаВправо \ mathbb {R} $. Гэта можа быць абагульненая на полилинейные формы, хоць атрыманне скаляр патрабуе арыентацыі, а таксама ўнутраны прадукт за $ (2n + 1) $ - лінейныя формы.
дададзена аўтар omerbp, крыніца
Я меў на ўвазе $ (\ клін ^ НВ ^ *) ^ {\ otimes2} $, але я не магу змяніць свой каментар больш.
дададзена аўтар omerbp, крыніца

Для такой складанай праблемы, не можа быць адназначным адказам. Я бачу многіх, якія ўсё апраўдваюць вялікую цікавасць, што матэматыкі прысвяцілі дагэтуль матрыцы, а не гиперматрицам.

Ubiquity. Matrices are used by every species of mathematicians, and beyond, by a large fraction of scientists. This is perhaps the only mathematical area to enjoy this versatility. Let me provide a few examples. Matrix exponential is fundamental in differential equations (more generally in dynamical systems) and Lie theory of groups. Symmetric matrices are used in quantum mechanics, statistics, optimisation and numerical analysis; they have deep relations with representation theory and combinatorics (see the solution of Horn's conjecture by Tao & Knutson). Positive matrices are encountered in probability and numerical analysis (discrete maximum principle). Matrix groups are used in representation theory, in number theory (including modular forms), in dynamical systems (because of symmetries). When depending on parameters, matrices enter in PDE theory as symbols.

Simplicity. The concept of matrix is by definition simpler than that of hypermatrices. It is natural that the study of matrices precedes that of HM. This argument will fade as time increases, of course.

Richness. What makes a field particularly attractive is that it involves several apparently unrelated concepts in order to produce unexpected results. This happens in matrix theory, because on the one hand, we may view them as linear maps (where conjugation is relevant) and on the other hand we may see them as bilinear or sesquilinear maps (where congruence is relevant). It becomes especially fruitful when we go back and forth between both points of view. This happens in the remarkable theorem that normal matrices are unitarily diagonalizable, but also in the parametrization of a Lie group by its Lie algebra via the exponential and the Hermitian square root. I am not at all aware of the theory of HM, but if they do not form naturally an algebra, I doubt that their theory could be so rich, or if it is, it will be for completely different mathematical reasons.

Для ўмеранага гэтага абяцанні, дазвольце мне сказаць, што гиперматрица вывучаны (хоць і не так глыбока) пад назвай тэнзар . Яны маюць вялікае значэнне ў дыферэнцыяльнай геаметрыі (Рычы тэнзар крывізны, з многімі ідэнтычнасцяў імя Кристоффеля, Гаўса, Кодацци, ...) і ў яе прыкладаннях: агульная тэорыя адноснасці, эластычнасць. Гэта, безумоўна, складаныя тэмы, дзе нават простыя праблемы, не добра зразуметыя. Для таго, каб адзначыць адно з іх да гэтага часу няма здавальняючага апісання двойчы сіметрычных тэнзар чацвёртага парадку ($ a_ {IJKL} = a_ {jikl} = a_ {ijlk} $), якія задавальняюць умове Лежандра-Адамара $$ \ sum_ {I, J, K, L} а_ {IJKL} x_ix_j \ xi_k \ xi_l \ ge0, \ qquad \ FORALL х \ у \ mathbb R ^ N, \ XI \ у \ mathbb R ^ в. $$ Мне здаецца, што выкарыстанне ТМ занадта расьсеяны, і, такім чынам, няма ніякага навуковай супольнасці, якія спецыялізуюцца на ўсіх іх аспектах. <�Моцны> Edit . Акрамя таго, паняцце рангу, хоць і карэктна вызначаны ў выпадку тэнзар, цяжка маніпуляваць і вылічыць ў відавочным выглядзе. Гэта з'яўляецца прычынай таго, чаму дакладная алгарытмічная складанасць множання матрыц да гэтага часу не вядомая (аперацыя $ (А, У) \ mapsto АВ $ ў $ M_n (к) $ можна разглядаць як $ 3 $ ў -тензорное, і яе тэнзарнае ранг вызначае колькасць аперацый, неабходных у $ N \ п раз $ mulitplication).

43
дададзена
Ўмова Лежандра-Адамара з'яўляецца выдатным прыкладам таго, што спытаў Gjergji у каментарах вышэй, адзін, дзе полилинейная ўстаноўка значна менш зразумела, чым у лінейным выпадку. У той час як добра вядома, што выпуклы конус, спароджаны $ \ х \ otimes \ х $ «квадраты вектараў» ў прасторы квадратных матрыц эквівалентныя конус неадмоўнага пэўных матрыц, і, такім чынам, што PSD конус само -двойственные, аналагічнае зацвярджэнне, як вядома, няправільна для Лежандра-Адамара тэнзар.
дададзена аўтар jmah, крыніца
У прыватнасці, было б выдатна, каб высветліць, у чым розніца усталёўваецца паміж тэнзар Лежандра-Адамар і рангам-адзін конусам, спароджанымі элементамі выгляду $ х \ otimes х \ otimes \ х \ otimes \ х $, або нават знайсці автодуальный конус, седзячы паміж двума выпуклымі конусамі.
дададзена аўтар jmah, крыніца
@Denis: Я не мог прасіць больш дасведчаны і інфарматыўны адказ. Вашы пункты пра багацце асабліва павучальна. Я ўдзячны!
дададзена аўтар Joseph O'Rourke, крыніца

Надта спрошчаны адказ: мы працуем на двухмернай паперы, так двухмерныя матрыцы вельмі зручна запісваць і вылічаць с, у той час як шматмерныя гиперматрицам няма.

Такім чынам, у той час як мы можа ўяўляюць полилинейные формы, тэнзар і г.д., як гиперматрицам, мы часта не робяць, так як гэта не гэтак плённым, як прадстаўляюць лінейныя карты, білінейны формы і г.д. ў выглядзе матрыц. Замест гэтага мы звычайна выкарыстоўваем іншыя абазначэнні пры працы з вышэйшымі тэнзар ўручную.

У кампутарнай алгебры, памернасць паперы не мае істотнае значэнне, у той час як некаторыя віды абстракцыі складаней, таму ў дадзеным кантэксце вышэй тэнзар з'яўляюцца значна больш часта ўяўляецца як гиперматрица.

36
дададзена
Я сапраўды думаю, што гэта <�я> далей </я> адказ.
дададзена аўтар Paul, крыніца
І той факт, што мы гаворым пра гэта у цяперашні час , калі кампутары робяць яго лягчэй лячыць гиперматрицам, мне здаецца, што нешта накшталт пацвярджэння аб ypur дысертацыі.
дададзена аўтар Tom Duckering, крыніца
Я не думаю, што гэта адказ.
дададзена аўтар Pierre Spring, крыніца
Я ўпэўнены, што параўнальная грувасткасць абазначэння гиперматрица, па меншай меры збольшага тлумачыць іх адсутнасць папулярнасці сярод матэматыкаў, і адсутнасць папулярнасці вядзе да адсутнасці тэорыі. Так што я думаю, што гэты адказ збольшага правільна, але яна павінна спалучацца з адказамі, як Фларыяна, якія прадастаўляюць арыгінальныя рысы, якія адрозніваюцца для $ D = 2 $ і $ D> 2 $.
дададзена аўтар Herb Wolfe, крыніца

Я думаю, што многае з таго, што я збіраўся сказаць, ужо было сказана, але я хацеў бы паўтарыць: я не згодны з пасылкай пытання на ўсіх. А «гиперматрица» гэта проста іншая назва для тэнзар. Усе аспекты матрычных аперацый, якія я ведаю (множанне, вызначальнік і г.д.) маюць прамыя абагульнення на тэнзар. Усё гэта лепш за ўсё развіты і разумецца ў абстрактнай абстаноўцы, выкарыстоўваючы тэнзар і знешнія алгебры над абстрактнымі вектарнымі прасторамі, а таксама тэорыі уяўленняў. Акрамя таго, нароўні з тэнзар гэтых аперацый выкарыстоўваюцца ў многіх сітуацыях, у тым ліку, але не абмяжоўваючыся алгебраічнай і дыферэнцыяльнай геаметрыі. Што з'яўляецца праўда ў тым, што вам не абавязкова мець глыбіню тэарэм, якія ў вас ёсць для матрыц, але я лічу, што гэта па двух прычынах: 1) тэнзар больш агульны характар, так што яны апранаюць » т задавальняюць усе ўласцівасці матрыц, і 2) тэнзар з'яўляюцца больш складанымі, так што яна займае больш часу, каб развіваць іх на тую ж глыбіню.

34
дададзена
Гэта ў значнай ступені менавіта адказ, які я даў бы. Я хацеў бы дадаць яшчэ адну прычыну: 3) гэта цяжэй запісаць дадзеныя тэнзар на дошцы або аркушы паперы.
дададзена аўтар A Salim, крыніца
Тэа, я толькі што сказаў тыдзень таму маіх калегаў (часткова жартаваў, але не цалкам), што я спецыялізаваўся на матрыцах, таму што я магу запісаць іх на дошцы.
дададзена аўтар Nathan Baulch, крыніца
Тэа, выдатны момант!
дададзена аўтар mreggen, крыніца
@goblin: Абагульненне матрычнага множання сцягвання двух тэнзар ў адной або некалькіх індэксаў. Множанне ня-абавязкова-квадратных матрыц можна разглядаць як натуральныя сціскальныя $ (V \ otimes W ^ *) \ раз (W \ otimes Z ^ *) \ СтрелкаВправо V \ otimes Z ^ * $. Гэта мае відавочныя абагульнення на адпаведныя пары вышэйшых тэнзар парадку.
дададзена аўтар mreggen, крыніца
Я цалкам згодны з вамі, і я думаю, што Тэа робіць вельмі добры момант. Я не думаю, што я калі-небудзь бачыў канкрэтны тэнзар ...
дададзена аўтар CodyP, крыніца
«Усе аспекты матрычных аперацый, якія я ведаю (множанне, вызначальнік і г.д.) маюць прамыя абагульнення на тэнзар.» Як вы прапануеце вызначыць множанне тэнзар такім чынам, каб абагульніць множанне матрыц?
дададзена аўтар goblin, крыніца

Бхаргава растлумачана Гаўса склад бінарных квадратычным формаў з выкарыстаннем 2x2x2 кубікаў, якія могуць быць ідэнтыфікаваныя з 2x2x2-гиперматрицами, на якіх $ SL_2 ({\ mathbb Z}) ^ 3 $ натуральным чынам дзейнічаюць; hyperdeterminant гэтага гиперматрицы з'яўляецца агульным дискриминант трох асацыіраваных квадратычным формаў. Ужо Кэли рэалізаваная сувязь з кампазіцыяй бінарных квадратычным формаў.

22
дададзена

Адна з прычын, лінейная алгебра настолькі карысная, што асноўныя паняцці, як ранг, так шмат эквівалентных азначэнняў. Некаторыя з іх лепш для пастаноўкі задач, некаторыя доказы тэарэм, а некаторыя для выканання вылічэнняў. Здольнасць свабодна перамяшчацца паміж імі з'яўляецца ключом да вырашэння многіх праблем.

Некаторыя з гэтых азначэнняў, вядома, не будзе мець сэнс для гиперматрицам, але многія з іх робяць. Праблема заключаецца ў тым, што яны звычайна не ў канчатковым выніку раўназначныя.

Напрыклад: вы можаце вызначыць ранг адзін гиперматрица як знешнія творы вектараў ( «простыя тэнзар») і вызначыць мінімальны лік такіх тэрмінаў, якія павінны быць сумаваныя для атрымання дадзенай гиперматрица быць «hyperrank». Але гэта не правільна класіфікаваць усе гиперматрица да змены базісу ўздоўж усіх «восяў» гиперматриц, як гэта робіць для матрыц (на самай справе колькасць класаў эквівалентнасці больш не нават канчатковае). І толькі ў вельмі простых выпадках гэта не згодны з тым, што вы атрымаеце ў нуль некаторых «hyperdeterminants» - на самай справе, мноства гиперматрицам з hyperrank не больш за $ K $ нават не зачыненая.

Так што вы можаце вылічыць не так жа, як рэчы, якія вы хацелі б вылічыць, і ўсё сканчаецца пачуццё значна больш адмысловыя.

Вядома, гэтая складанасць робіць шмат цікавых рэчаў, каб вучыцца, а не проста шырока ўжываецца інструмент кожны старшакурснік павінен навучыцца. Хоць, магчыма, яны павінны ведаць, чаму яны не пазнаць яго!

17
дададзена

Мне здаецца, што ёсць шмат рэчаў у матэматыцы, якія можна было б назваць гиперматрицам, калі адзін былі настолькі схільныя, але людзі, як правіла, няма (і калі яны іх называюць што-небудзь, яны называюць іх тэнзар). Напрыклад, адно выкарыстанне матрыц $ M $ з'яўляецца тое, што яны ўяўляюць сабой білінейны формы $ х ^ T M Y $ і квадратычныя формы $ х ^ Т М х $. Трохмерны гиперматрицы затым ўяўляюць <�ет> трилинейные формы і кубічныя формы (і так далей для больш высокіх памераў), і яны з'яўляюцца ў розных месцах у матэматыцы, напрыклад, у Лі тэорыя . Карта нормы на поле кубічнага нумары таксама прыклад кубічнай формы. У больш агульным сэнсе, якія чаргуюцца полилинейные формы з'яўляюцца ў выглядзе дыферэнцыяльных формаў, і тое ж самае можна сказаць і пра больш агульных тыпах тэнзар. Можна сказаць, што вывучэнне праектыўнай гиперповерхность, задаваць аднастайным мнагачлена $ F (x_1, ... x_n) = 0 $ гэта тое ж самае, вывучаючы пэўную $ N $ -мерном гиперматрица, звязаны з $ F $. Можна сказаць, што вывучэнне канечнамернае алгебры або алгебра Лі $ A $ такога ж, як вывучэнне гиперматрицы даюць структурныя канстанты яго множанне або кранштэйны $ м: А \ А \ разы на A $.

Такім чынам, як я ўжо казаў у каментарах, я не ўпэўнены, што вы маеце на ўвазе, калі вы кажаце, што гиперматрицам рэдка. Я мяркую, вы спрабуеце правесці адрозненне паміж падставай-залежнымі і незалежнымі базіснымі-ідэі?

12
дададзена

Проста невялікае дадатак да ўжо добрым адказам вышэй.

Хоць наступны артыкул: Большасць праблем тэнзарнае з'яўляюцца NP Hard па HILLAR і Лім не тлумачыць, чаму тэнзар не настолькі распаўсюджаны, што дазваляе выказаць здагадку, што яны могуць працягваць тыя, што засталіся без паўсюднага. Там, здаецца, няма ніякіх простых абагульненняў стандартных паняццяў у матрычнай выпадку: уласныя, сінгулярнасць значэнне, спектральнай норма і г.д., паказаны два будуць NP-складана вылічыць, нават для 3-D тэнзар.

12
дададзена

Так як матрыца проста як выпіша лінейнае адлюстраванне $ V \ да W $ з аднаго вектарнага прасторы ў іншы, мне здаецца, што prevalance матрыц над гиперматрица з'яўляецца толькі адлюстраваннем таго факту, што мы выкарыстоўваем катэгорыю нашмат больш часцей, чым multicategories (дзе морфизм мае спіс аб'ектаў у сваёй вобласці). І я адчуваю, што вялікія катэгорыі ролю гуляюць, з морфизмов, якія проста ідуць ад аднаго аб'екта да іншага, звязана з тым, як мы глядзім на свет у тэрмінах станаў і працэсаў, дзе вы зараз знаходзіцеся і як дабрацца, дзе вы » зноў збіраецца, быцця і станаўлення.

Вядома, з дапамогай дваістых вектарных прастор можна таксама выкарыстоўваць матрыцы для прадстаўлення альбо функцыяналам $ V \ otimes W \ к к $ або элементы $ к \ да V \ otimes W $, але я адчуваю, што гэтыя віды, як правіла, не больш асаблівымі чым іх абагульнення для гиперматрицам.

8
дададзена

Я думаю, што розніца паміж матрыцамі і гиперматрица цесна звязана з адрозненнем паміж графікамі і гиперграфами.

1) Многія з цудаў для графаў/матрыц (характарыстыка, дваістасці, эфектыўных алгарытмаў) не распаўсюджваюцца на высокіх памераў. Метад выключэння Гаўса і efficincy вылічальных вызначальнікаў ў каранёў некаторых з гэтых цудаў.

2) Для мадэлявання, у многіх выпадках графікі/матрыцы дастаткова. Вы можаце мадэляваць гиперграфом лёгка выкарыстоўваючы графікі.

6
дададзена

Ёсць шмат прычын для гэтага. Адзін ужо згадвалася іншымі з'яўляецца <�моцны> Прастата . Чым прасцей структура, тым часцей вы будзеце сутыкацца з яго. Абелевых груп паўсюль; неабелева група ўжо больш рэдкі, кольцы яшчэ радзей і г.д. Матрыцы ўпісвацца ў многіх асноўных схем і структуры: гурты, кольцаў, вектарныя прасторы, алгебры.

Другі вельмі важнай прычынай з'яўляецца тое, што матэматыка выкарыстоўваецца ў навуцы для апісання прыроды, а таксама асноўныя заканамернасці ў прыродзе проста, па меншай меры, у першым набліжэнні, найбольш часта досыць у прыкладаннях. Большасць законаў прыроды <�моцны> лінейны , тым больш, што адносіны, якія найбольш часта выкарыстоўваюцца. Функцыі і выразы, якія залежаць ад больш чым адной зменнай, так значна радзей выкарыстоўваецца, чым тыя, якія проста выказваюць прапарцыянальнасць. <�Моцнага> Матрыцы адпавядаюць лінейным суадносінам, суразмернасці , і ўсё ж яны нават ахопліваюць таксама амаль усе (ЕТ меры, найбольш часта) выпадкі білінейны адносін (калі вынік з'яўляецца скаляраў) . Гиперматрица адпавядаюць білінейны векторнозначным або трилинейным і больш высокаму парадку адносін, якія значна радзей у прыродзе і выкарыстанні. Вы ведаеце, якія папулярныя законы гэтай прыроды? Глядзіце!

2
дададзена
«Вы ведаеце, якія папулярныя законы гэтай прыроды?» Так, закон Гука лінейную залежнасць паміж напругай (2-тэнзар) і напружання (яшчэ 2-тэнзар) і «тэнзар калянасці» мае ранг 4.
дададзена аўтар Adam P. Goucher, крыніца

Прывітанне Джозэф,

здаецца, што асноўнае адрозненне паміж гиперматрица і матрыцамі індэксацыя.

Патлумачу, што я маю на ўвазе. Разгледзім канчатковы граф $ G = (V, E) $ (структура графа не важна, я адзначыць гэта толькі для абазначэння некаторай геаметрычнай інтэрпрэтацыі індэкса) і набор лікаў $$ (A_ {V, W}) _ {(V, W) \ у V \ раз V}. $$

Нягледзячы на ​​гэты спіс ёсць «двухмерных» характар ​​(бі-індэксны) гэта на самай справе hypermatrice.

Спосаб імпартаваць гиперматрица вынікаў стандартнай тэорыі матрыцы для вызначэння аперацый, як звычайна. Прадукт, напрыклад, з'яўляецца $$ (АВ) _ {(V, W)} = \ sum_ {г \ у V} A_ {V, Z} B_ {Z, W}. $$

Дэтэрмінант і іншыя важныя аб'екты таксама могуць быць вызначаны такім чынам, шляхам замены групы $ \ mathbb {S} _n $ автоморфизмов $ V $ і гэтак далей.

Так што я думаю, што не выскачыць якой-небудзь цікавую асаблівасць, якая апраўдвала надаваць вялікую ўвагу да гэтага аб'екта. Таму што можна ўбачыць іх толькі ў якасці замены працэсу індэксацыі.

Для іншага боку ў такіх галінах, як статыстычная механіка і перколяции яны значна больш натуральна ў высокіх прасторавых задачах, чым звычайныя матрыцы. Калі мы вызначаем $ p_ {уф} $ верагоднасць ўбачыць рабро $ \ {і, v \} $ адкрыты ці калі мы вядзем з канстантамі сувязі $ J_ {I, J} $ ў мадэлі Изинга, усе яны з'яўляюцца гиперматрица і яго лінейная структура алгебры часта ўзнікаюць у доказах важных вынікаў карэляцыі няроўнасцей.

1
дададзена