$ \ Infty = -1 $ парадокс

Я збянтэжаны два старэйшых класаў Pre-вапнавае настаўнікаў матэматыкі сёння з невялікай колькасцю доказаў (магчыма, няма), я знайшоў пару гадоў таму, што бясконцасць роўна -1:

  1. Let x equal the geometric series: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 \ldots$

    $x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 \ldots$

  2. Multiply each side by 2:

    $2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 \ldots$

  3. Again from the equation in step 1, move the $1$ term to the left hand of the equation:

    $x - 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 \ldots$

  4. So the following appears to be true:

    $2x = x - 1 \implies x = -1$

Гэта, відавочна, нелагічна. Настаўнікі сказалі мне, што праблема звязаная з даданнем два бясконцых геаметрычнай прагрэсіі, але яны не былі станоўчымі. Я ў цяперашні час у Pre-вапнавае, так што я вельмі мала ведаў паводле падліку, але трохі дапамагчы з гэтым парадоксам будзе ацэнены.

64
У сапраўдных ліках й не існуе. (Геаметрычны шэраг не мае сум.) Можа быць, вы можаце выкарыстоўваць пашырэнне сапраўдных лікаў, які змяшчае ∞ і робіць некаторыя з гэтых аперацый сапраўдных, у якіх ∞ <�я> сапраўды </я> задаволіць усе да кроку 4, а менавіта 2x = х-1. (2∞ = ∞ = ∞-1.) Але такое пашырэнне не будзе валодаць уласцівасцю, што а + Ь = а + с => Ь = с, так што вы ўсё яшчэ не можаце «адымаць абодва бакі ад й» і атрымаць крок 5.
дададзена аўтар Mike Powell, крыніца
Гэтак жа няправільна (але прасцей) доказ будзе ісці, як гэта: $ \ infty + 1 $ яшчэ $ \ infty $, так як вы не можаце зрабіць гэта любы больш. Але тады мы маем $ \ infty = \ infty + 1 $ і адняць бясконцасць з абодвух бакоў давёўшы $ 0 = 1 $.
дададзена аўтар tomash, крыніца
Вось простае тлумачэнне, не выкарыстоўваючы радыус паняцці збежнасці для геаметрычнай прагрэсіі. Серыі вы далі разыходзіцца да бясконцасці, і вы не можаце рабіць арыфметычныя аперацыі, такія як мінус на бясконцасці, просяць $ \ infty - \ infty $ роўна цікавае ня дзейнічае ...
дададзена аўтар leftaroundabout, крыніца
Памятаеце, што $ \ infty- \ infty $ з'яўляецца indeterminated.
дададзена аўтар romeroabelleira, крыніца
Геаметрычная прагрэсія ў вас ёсць эквівалентная ацэнцы $ \ frac1 {1-х} $ пры $ х = 2 $; у $ -1 $ справядліва для гэтай формулы, але вы карыстаецеся серыю за межамі сваёй вобласці дзеяння, што, дзе праблема ляжыць. Гэта павінна прасіць пытанне аб тым, чаму даданні кучы станоўчых вынікаў у адмоўным ...;)
дададзена аўтар Fanjita, крыніца
Тут з'яўляецца звязанай нітку.
дададзена аўтар Fanjita, крыніца
Акуратны трук вы можаце зрабіць з Mathematica : SequenceLimit [Табліца [Sum [2 ^ J, {j, 0, п}], {п, 0, 10}]] </код >. Калі вы не прымаць да ўвагі тое, што я ўжо казаў раней, гэта не мае сэнсу, на самай справе. Цяпер паспрабуйце замяніць 2 у гэтым фрагменце кода з кодам <> х ...
дададзена аўтар Fanjita, крыніца
Для больш істотнай спасылкі, што вашы настаўнікі могуць карыстацца, $ P $ -адических лікаў Фернанда Q. Gouvea, задачы 21 на старонцы 20, якая павінна паказаць, што ў $ \ mathbf q_p, \; \; 1 + р + р ^ 2 + р ^ 3 + \ cdots = \ гидроразрыва {1} {1-р}. $ $$ $$ springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-62911-5
дададзена аўтар A.D., крыніца
Напрыклад, $ · · · 0000 \ PMOD {10 ^ N} = 1+ · · · 9999 \ PMOD {10 ^ N} → · · · 9999 = -1 \ PMOD {10 ^ п} $. Так як $ · · · 9999 = -1 $ = максімальны лік = (бясконцасць), таму бясконцасць $ = - 1 $.
дададзена аўтар Takahiro Waki, крыніца

7 адказы

When we talk about an "infinite sum", we are really talking about a limit. In this case, we are talking about the limit of the "partial sums" of the series. The partial sums are: $$\begin{align*} s_1 &= 1;\\ s_2 &= 1+2;\\ s_3 &= 1+2+4;\\ &\vdots \end{align*}$$ That is, $s_n$ is the sum of the first $n$ summands in the series. When we talk about the "value" of a series (an infinite sum), we are really talking about the limit of the $s_n$: that is, a specific real number $L$ that the $s_n$ are approaching as $n\to\infty$. Or we say that a series "equals $\infty$" if the values of $s_n$ grow without limit.

Калі вы кажаце, $ х = 1 + 2 + 4 + \ cdots $, што вы <�моцны> сапраўды выслоўе, што мяжа $ s_n $. У гэтым выпадку мяжа $ s_n $ робіць не існуе, таму што $$ \ lim_ {п \ к \ infty} s_n = \ infty. $$ Значэння $ s_n $ атрымаць калі заўгодна вялікі, як $ п \ к \ infty $.

Гэта certanly дакладна і што сума $ 2 + 4 + 8 + \ cdots $ таксама $ \ infty $, так як $ 2 \ час \ infty = \ infty $ (у пашыраных сапраўдных лікаў). А калі адняць адзін, то вы ўсё роўна атрымаеце $ \ infty $, таму што $ \ infty -1 = \ infty $ (у пашыраных рэалаў).

Такім чынам, вы можаце напісаць $ 2x = X-1 $.

Тое, што вы не можа , тым не менш, з'яўляецца "адняць $ X $ з абодвух бакоў"; таму што гэта было б пісаць $$ 2 \ раз \ infty - \ infty = \ infty -1 - \ infty $$ і праблема заключаецца ў тым, што нават у пашыраных рэалаў, $ \ infty- \ infty $ з'яўляецца нявызначанымі . Гэта робіць не роўна нічога, і, вядома, не роўны нулю. Карацей кажучы, вы не можаце проста адмяніць бясконцасці.

72
дададзена
@ Vorbis5: Так; праблема заключаецца ў тым, што даданне бясконцымі вызначаюцца так, што $ \ infty + а = \ infty $, калі $ A $ з'яўляюцца рэальным лікам $ \ infty $. Гэта азначае, што няма нічога, што вы можаце дадаць да $ \ infty $, каб атрымаць $ 0 $ (які з'яўляецца <�я> рэальны </я> азначае за «аднімання»).
дададзена аўтар Lorin Hochstein, крыніца
@vorbis: Калі ў мяне ёсць бясконцая колькасць шарыкаў, кожны з чырвонага або сіняга колеру, я магу даць вам усё з іх. Тады ∞-∞ = 0. Ці, скажам, я даю вам усё сінія шарыкі. Тады ∞-∞ = ∞. Ці, скажам, я дам вам усё, але 11 шарыкаў. Тады ∞-∞ = 11. Такім чынам, ∞-∞ можа быць <�я> што-небудзь . Добра ... гэтыя сімвалы не з'яўляюцца правільнымі.
дададзена аўтар Shaul Behr, крыніца
@vorbis: Там прычына $ \ infty- \ infty $ называецца ў нявызначаную выгляд ...;)
дададзена аўтар Fanjita, крыніца
Так што гэта нармальна, каб дадаць два бясконцымі разам і атрымаць бясконцасць, але не адымаюць два бясконцасці?
дададзена аўтар olvrlrnz, крыніца

Два заўвагі. Па-першае, можна атрымаць гэтую суму, мае сэнс, калі адзін змяняе паняцце мяжы. $ 2 $ -адические нумары аснашчаны рознай абсалютнай велічыні, чым звычайнае абсалютная значэнне на рацыянальных лікаў, выкарыстоўваючы гэта абсалютная значэнне серыі на самай справе сыходзіцца да $ -1 $.

Па-другое, шэраг $ 1 + г + г ^ 2 + ... $ вызначае тое, што называецца голоморфна на <�а HREF = "http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number»> комплексныя колькасці з абсалютным значэннем менш, чым $ 1 $. На гэтых лікаў ён можа быць ідэнтыфікаваны з сумай $ \ гидроразрыва {1} {1 - г} $, але апошняе выраз у цяперашні час мае сэнс для ўсіх значэнняў $ Z $ ня роўна $ 1 $. Гэта асаблівы выпадак таго, што вядома як аналітычнае працяг голоморфной функцыі.

У больш агульным сэнсе, мяжа вызначэнне Артура апісвае гэта не адзіны спосаб надаць сэнс бясконцай сумы. Гэта <�ет> стандарт шлях, і для амаль ўсіх намераў і мэтаў з'яўляецца найбольш карыснае шлях, але гэта не адзіны шлях. Альтэрнатыўныя метады разглядаюцца ў артыкуле Вікіпедыі аб разбежных шэрагаў , і каб вы не думаеце, што гэта проста цікаўнасць, сумуючы разбежных шэраг бывае мець дачыненьне да пэўных фізічным тэорыям, якія даюць сумы, якія разыходзіліся б, калі яны не былі сумаваць ў нетрадыцыйным спосабе.


Калі вы не знаёмыя з $ 2 $ -адических лікаў, тут вельмі кароткае ўвядзенне і вельмі кароткае «доказ» прыведзенага вышэй тоеснасці, выкарыстоўваючы іх. У асноўным, яны паводзяць сябе як натуральныя лікі (з нулём), за выключэннем таго, што яны маюць бясконцыя бінарныя раскладання збіраюцца ў налева. Лік $ 1 + 2 + 4 + 8 + ... $ маюць двайковы

$$ ... $$ 1111_2

у $ 2 $ -адических лікаў, а затым доказ таго, што яна роўная $ -1 $ з'яўляецца толькі пытаннем правядзення бясконца шмат разоў (дадаць $ 1 $ да вышэй)!

36
дададзена
@Sivaram: да. У абодвух выпадках $ L = \ сума х ^ я $ павінна задавальняць $ (1 - х) L = 1 $ (у першым выпадку, так як паслядоўнасць сыходзіцца, а ў другім выпадку з-за прынцыпу ідэнтычнасці). Для алгебраічных функцый, такіх як $ \ SQRT {1 + х} $ можа здарыцца так, што вы атрымаеце розныя цэлыя рацыянальныя для розных $ P $ (паспрабуйце $ х = 15, р = 3, 5 $). Вядома, вы ўсё роўна атрымаеце нешта квадратуры да $ 1 + х $; Іншымі словамі, вы ўсё роўна атрымаеце некаторыя </я> Аналітычнае працяг, але, магчыма, розныя галіны.
дададзена аўтар Matt Dawdy, крыніца
@Sivaram: гэта залежыць ад таго, што менавіта вы маеце на ўвазе пад «нормай». Калі вы маеце на ўвазе звычайнага пачуцці абсалютнага значэння на поле, то па тэарэме Астроўскага няма больш дзіўных з іх на $ \ mathbb {Q} $: ёсць толькі $ р $ -адических Оны і звычайная адзін. І ў агульных межах у дачыненні да гэтых нормаў будзе прызямляцца ў розных галінах, так што незразумела, як іх параўноўваць.
дададзена аўтар Matt Dawdy, крыніца
+1 на 2 adics. Я амаль забыўся пра тое, што адзін ... Забаўна, $ = 1 -1 + 2 + 4 + 8 + \ cdots $ таксама тое, што вы атрымаеце, калі вы паспрабуеце з дапамогай біном на $ (1-2) ^ {- 1} $.
дададзена аўтар Lorin Hochstein, крыніца
Дзякуючы. Можа аналітычнае працяг любой функцыі ў цэлым можна разглядаць як збежнасць ў нейкай дзіўнай норме?
дададзена аўтар user17762, крыніца
Увогуле, Ёсць прычына, чаму мяжа ў адпаведным р-адических нормы роўная аналітычнае працяг, ці гэта, што яны проста так здараецца быць роўныя адзін аднаму?
дададзена аўтар user17762, крыніца
Лол. «Так давайце рабіць матэматыку ў іншай Сусвету з р-адических лікаў $ \ пункту $» сталі заснавальнікамі разбежных метадаў разліку серыі.
дададзена аўтар Simply Beautiful Art, крыніца

Я, здараецца, седзячы побач з групай матэматычных спецыяльнасцяў, і я вырашыў растлумачыць гэта «прахалоднае новае доказ» а «раней невядомы вынік» да іх. Вось як гэта пайшло:

$$ "х = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..." $$ Яны ўжо падазрона - гэта ўласціва даньне $ \ infty $ імя як $ х $, і таму я магу сказаць, што яны ўжо ведаюць, што нешта дзіўнае адбываецца.

" Звярніце ўвагу, што $ 2x = 2 + 4 + 8 + ... = х - 1 $."

Яны, здаецца, не ненавідзець гэтую ідэю яшчэ. Адзін пытаецца мяне, калі мы інтэрпрэтуючы паслядоўнасць частковых сум - вельмі натуральнае пытанне, так як гэта свайго роду адзіны спосаб, каб зрабіць які-небудзь сэнс. Але тады я кажу

« Звярніце ўвагу, што, такім чынам, $ х - 1 = 2х \ СтрелкаВправо х = -1 $.

Зараз усе яны спынілі мяне - гэта поўная лухта, кажуць яны. Столькі, колькі я мог бы паспрабаваць аднавіць сітуацыю і выцягнуць капот над сваімі вачыма, яны ўбачылі праз яго. На жаль, так ёсць I. Гэта проста не мае сэнсу, каб адняць «бясконцасць» ад «бясконцасці».

13
дададзена
@Nicolas: Калі б вы былі ў Скайлсе, то вы маглі б быць там. У 12 гадзін - я мыю рукі гэтай школы і падрыхтавацца да вялікіх залімітавага.
дададзена аўтар user3482383, крыніца
Праўдзівей словы ніколі не казаў, сэр! Так атрымліваецца, што мая мама прыходзіць у горад сёння вечарам і спаць у маім пакоі ў Паўночнай авеню, і я застануся ў майго сябра схільны ... Тое, што я забыўся, што мой сусед па пакоі Начо засталося пайсці атрымаць марна сёння для Синко дэ Майо ... і ён, як правіла, падабаецца бюст ў мой пакой, калі ён вяртаецца п'яным і абудзіць мяне для поўных размоваў, павінна быць цікавай ноччу ...
дададзена аўтар user10355, крыніца
во во во ... чаму я не там ?! ??!
дададзена аўтар user10355, крыніца
Ха-ха той дзіўны адказ. Дзякуй, матэматычныя спецыяльнасці: D
дададзена аўтар olvrlrnz, крыніца

Я думаю, што адказ Артура гэта пляма, але не цалкам. Існуе пачуццё, у якім тое, што вы зрабілі гэта на самай справе праўда.

Вазьміце першую серыю:

$$\begin{align*} s_1 &= 1;\\ s_2 &= 1+2;\\ s_3 &= 1+2+4;\\ &\vdots \end{align*}$$

і другая серыя вы атрымаеце шляхам множання першага на два

$$\begin{align*} s'_1 &= 2;\\ s'_2 &= 2+4;\\ s'_3 &= 2+4+8;\\ &\vdots \end{align*}$$

Цяпер, калі вы бераце наступны мяжа:

$$\lim_{n \to \infty} s'_n - s_{n+1} = -1 \; ,$$

Вы сапраўды атрымаць вынік. Аднак, калі вы прымаеце наступныя

$$\lim_{n \to \infty} s'_n - s_n = \infty \; .$$

Такім чынам, ваша невялікая маніпуляцыя, вы няяўна робіце першы мяжа, такім чынам, ваш вынік. Аднак, так як $ \ infty- \ infty $ з'яўляецца нявызначанай формы, змяняючы мяжа трохі прывядзе да іншага выніку.

На самай справе, як Qiaochu тлумачыць у сваім адказе, ёсць налады, у якіх натуральная інтэрпрэтацыя шэрагу з'яўляецца менавіта адзін, адпаведны вашаму разліку.

10
дададзена

У кнізе пад назвай $ P $ -адических лікаў, Фернанда Q. Gouvea, гэта праблема 21 на старонцы 20. Мая выданне кажа выданне другое, выпраўленае трэцяя друк 2003. Гэта ў серыі Universitext выдаўца Springer-Verlag, мяккі пераплёт , Вашы выкладчыкі могуць карыстацца гэтай кнігай, то можна замовіць гэта сайт .

Праблема 21 кажа: Пакажыце, што для любога простага $ р, $ формулы $$ 1 + р + р ^ 2 + р ^ 3 + р ^ 4 + \ cdots = \ гидроразрыва {1} {1-р} $$ правда в $ \ mathbb Q_p. $

Тое, што я хацеў бы падкрэсліць, было частковае выраз $$ (1-р) \ налева (1 + р + р ^ 2 + р ^ 3 + р ^ 4 + \ cdots + р ^ п \ справа) = 1 - р ^ {п + 1} $$

Як вы ведаеце, у «звычайнай» трыганаметрыю і алгебра $ р ^ {п + 1} $ становіцца ўсё больш і больш, як $ п $ ўзрастае. Але ў $ P $ -адических лікаў $ \ mathbb q_p, $ метад вымярэння памераў лікаў кажа пра тое, што выраз $ р ^ {п + 1} $ становіцца ўсё менш і менш, а яе мяжа роўны 0. Вынік што ў гэтым асаблівым месцы, сапраўды сказаць, $$ (1-р) \ налева (1 + р + р ^ 2 + р ^ 3 + р ^ 4 + \ \ cdots справа) = 1 $$ Ваш парадокс у выпадку $ р = 2. $ Адзначым, што два ўваходжання простага $ P $ павінны супадаць. Лімітавае з удзелам прэм'ер-$ P $ становіцца ілжывым зноў у $ \ mathbb Q_Q, $ для некаторага простага $ д \ NEQ р. $

7
дададзена
Дарагі Уіл, прыемна бачыць вас тут! Я спадзяюся, вам спадабаецца.
дададзена аўтар Bjorn Roche, крыніца
кнігу ў Google Кнігах.
дададзена аўтар Fanjita, крыніца
Дзякуй, J.M. GiggleBooks трохі пераборлівы, у першы раз ён не паказваў мне стр.20, але пасля гэтага да. Гэта ясна кажа пра тое, што старонка 22 не з'яўляецца часткай папярэдняга прагляду. Дазвольце мне сказаць, што я люблю кароткае абмеркаванне лемы Гензеля на старонцы 211 "Праблемы з кнігі» па Ціту ANDREESCU і Габрыэль Dospinescu. $$ $$ awesomemath.org/xyz-press $$ $$ Andreescu галоўны хлопец $$ $$ artofproblemsolving.com/Forum/index.php $$ $$ MSE здаецца, каб атрымаць выпадковую праблему тыпу алімпіяды, і тыя, якія абмяркоўваліся да млоснасці на ўсе АОпах.
дададзена аўтар A.D., крыніца
Прывітанне, Вілі. Там, здаецца, больш прэміі на адпаведнасць тлумачэння да OP тут. Ну, у мяне сышло месяца, каб сонастраиваться МО.
дададзена аўтар A.D., крыніца

Стварэнне сіметрычных сум служыць для спрашчэння яе так, што памылка становіцца відавочнай, а менавіта

$$ \ ГТ \ х \ = \ sum_ {к \ \ у \ \ mathbb Z} \ 2 ^ {\: да} \ \ \ Rightarrow \ \ 2 \ х \ = \ х \ \ \ ня \ Rightarrow \ \ х \ = \ 0 $$

3
дададзена

Майце на ўвазе, што $ \ infty- \ infty $ з'яўляецца нявызначаным.

1
дададзена